La matriz con probabilidades de estado estable, también conocida como
matriz de probabilidad límite o matriz estacionaria, es una matriz cuadrada que
describe las probabilidades de que una cadena de Markov alcance un estado
estable después de un número infinito de pasos. En otras palabras, esta matriz
representa las probabilidades de que la cadena se encuentre en cada estado a
largo plazo, una vez que la cadena ha alcanzado su equilibrio.
A continuación, describiré un ejemplo
detallado de una matriz con probabilidades de estado estable para una cadena de
Markov que describe el clima en una región geográfica.
Supongamos que queremos modelar el clima
en una región geográfica con tres posibles estados: "soleado",
"nublado" y "lluvioso". Supongamos que la probabilidad de
que el clima cambie de un estado a otro depende del estado actual del clima y
de las condiciones climáticas generales de la región. Por lo tanto, podemos
modelar el clima de esta región como una cadena de Markov con una matriz de
transición en un solo paso.
La matriz de transición en un solo paso
para esta cadena de Markov podría tener el siguiente aspecto:
Soleado Nublado
Lluvioso
Soleado 0.7 0.2
0.1
Nublado 0.3 0.5
0.2
Lluvioso 0.1 0.4
0.5
En esta matriz, cada fila representa el
estado actual del clima y cada columna representa el estado del clima en el siguiente
paso. Por ejemplo, si el clima actual está "soleado", la probabilidad
de que el clima esté "nublado" en el próximo paso es del 20%, y la
probabilidad de que esté "lluvioso" es del 10%.
Podemos calcular la matriz de
probabilidades de estado estable resolviendo el sistema de ecuaciones lineales:
[π1, π2, π3] * P = [π1, π2, π3]
π1 + π2 + π3 = 1
donde P es la matriz de transición en un
solo paso y π es el vector de probabilidades de estado estable. En este caso,
la matriz resultante de este sistema de ecuaciones es:
Soleado Nublado
Lluvioso
Probabilidades 0.375 0.312 0.312
Estas probabilidades indican que, a
largo plazo, el clima de la región tiene una probabilidad del 37.5% de estar
"soleado", una probabilidad del 31.2% de estar "nublado" y
una probabilidad del 31.2% de estar "lluvioso". Esto nos indica que
el clima tiende a ser relativamente estable y equilibrado a largo plazo, con
una probabilidad similar de estar en cada estado.
En general, la matriz con probabilidades
de estado estable nos permite determinar las probabilidades a largo plazo de
estar en cada estado en una cadena de Markov, una vez que la cadena ha
alcanzado su equilibrio. Esta información es útil para comprender el
comportamiento a largo plazo de un sistema, como el clima de una región
geográfica o el comportamiento de un mercado financiero.
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