En esta sesión, les guiaré a través de los conceptos fundamentales de
las cadenas de Markov, y cómo estas pueden ser utilizadas para modelar una gran
variedad de sistemas dinámicos en diversas áreas de aplicación.
Primero, es importante entender que una
Cadena de Markov es un modelo matemático utilizado para describir la evolución
de un sistema en el tiempo, donde el estado futuro del sistema depende
únicamente del estado actual y no de los estados anteriores. Esto se conoce
como propiedad de "sin memoria" o "sin recuerdo".
Un ejemplo clásico de una Cadena de
Markov es el llamado "problema de la ruina del jugador". Imaginemos
que un jugador juega repetidamente un juego de apuestas en el que gana o pierde
una cierta cantidad de dinero en cada ronda. La cantidad de dinero que tiene en
un momento dado determina su estado actual. Supongamos que el juego se juega
hasta que el jugador quiebra (es decir, se queda sin dinero) o alcanza un
cierto objetivo. Si modelamos este juego como una Cadena de Markov, el estado
actual del jugador sería la cantidad de dinero que tiene, y la probabilidad de
pasar de un estado a otro estaría determinada por las probabilidades de ganar o
perder en cada ronda.
Ahora, veamos algunos conceptos clave en
el estudio de las Cadenas de Markov.
1. Matriz de transición: En una Cadena de
Markov, la probabilidad de pasar de un estado a otro se puede representar
mediante una matriz de transición. Esta matriz es cuadrada y sus entradas
representan las probabilidades de transición de un estado a otro. Cada fila de
la matriz suma 1, lo que significa que la suma de las probabilidades de
transición desde un estado a todos los demás estados es igual a 1.
2. Propiedades de las cadenas de Markov:
Las Cadenas de Markov tienen varias propiedades importantes. Una de ellas es la
propiedad de Markov, que establece que el estado futuro del sistema depende
únicamente del estado actual y no de los estados anteriores. Otra propiedad es
la propiedad de estacionariedad, que significa que las probabilidades de
transición no cambian con el tiempo. Si una cadena de Markov tiene esta
propiedad, se dice que es una cadena de Markov homogénea.
3. Distribución estacionaria: Si una Cadena
de Markov es estacionaria, existe una distribución estacionaria que describe la
probabilidad de que el sistema se encuentre en cada estado en el largo plazo.
Esta distribución estacionaria es única si la cadena es irreducible y
aperiódica, es decir, si es posible pasar de cualquier estado a cualquier otro estado
y si el tiempo medio para volver a un estado es finito.
4. Aplicaciones de las Cadenas de Markov:
Las Cadenas de Markov tienen numerosas aplicaciones en diversas áreas,
incluyendo la ingeniería, la física, la biología, la economía, las ciencias
sociales y muchas otras. Por ejemplo, pueden ser utilizadas para modelar el
comportamiento de sistemas físicos, como la dinámica de las partículas en un
gas, o para predecir la evolución de una población en el tiempo.
En resumen, las Cadenas de Markov son un
modelo matemático útil para describir la evolución
Comentarios
Publicar un comentario