Estados de una cadena de Markov

Las cadenas de Markov son una herramienta útil para modelar sistemas dinámicos donde el estado futuro del sistema depende solo del estado presente y no de los estados pasados. En una cadena de Markov, el estado del sistema se representa por un conjunto discreto de estados y las transiciones entre ellos se modelan mediante una matriz de transición. En este artículo, nos enfocaremos en tres tipos de estados en una cadena de Markov: transitorio, recurrente y absorbente.

 

Estados transitorios

 

Un estado en una cadena de Markov se considera transitorio si existe una probabilidad positiva de que el sistema abandone este estado y nunca regrese a él. En otras palabras, si el sistema comienza en un estado transitorio, existe una probabilidad positiva de que en algún momento pase a un estado diferente y no vuelva a este estado transitorio.

 

Un ejemplo de estado transitorio en una cadena de Markov podría ser el de una máquina expendedora de bebidas. Si el estado actual de la máquina es el de tener una bebida disponible, existe una probabilidad positiva de que alguien compre la bebida, y la máquina se mueva al estado de no tener una bebida disponible. En este caso, una vez que la bebida se agota, la máquina no puede volver al estado anterior de tener una bebida disponible.

 

Estados recurrentes

 

Un estado en una cadena de Markov se considera recurrente si existe una probabilidad positiva de que el sistema regrese a este estado en el futuro. En otras palabras, si el sistema comienza en un estado recurrente, existe una probabilidad positiva de que en algún momento regrese a este estado.

 

Un ejemplo de estado recurrente en una cadena de Markov podría ser el de un sistema de tráfico en el que una calle tiene un semáforo que cambia de verde a rojo y viceversa. Si el estado actual del semáforo es verde, existe una probabilidad positiva de que la calle permanezca en el estado verde en el próximo intervalo de tiempo. Por otro lado, si el semáforo está en rojo, existe una probabilidad positiva de que permanezca en el estado rojo en el próximo intervalo de tiempo. En este caso, el estado verde es recurrente, ya que el sistema volverá a este estado después de un cierto período de tiempo.

Es importante destacar que los estados recurrentes se pueden clasificar en dos tipos: recurrentes positivos y recurrentes nulos. Un estado recurrente se dice que es recurrente positivo si el tiempo esperado para regresar a este estado es finito, y recurrente nulo si el tiempo esperado para regresar a este estado es infinito.

 

Estados absorbentes

 

Un estado en una cadena de Markov se considera absorbente si una vez que el sistema entra en este estado, nunca puede salir de él. En otras palabras, si el sistema comienza en un estado absorbente, permanecerá en este estado para siempre.

 

Un ejemplo de estado absorbente en una cadena de Markov podría ser el de un sistema de votación en el que un candidato gana la elección si obtiene más de la mitad de los votos. Si el candidato actual tiene menos de la mitad de los votos, existe una probabilidad positiva de que los votos restantes favorezcan al otro candidato y el primer candidato pierda la elección. Sin embargo, si el candidato actual tiene más de la mitad de los votos, se considera que ha ganado la elección y el sistema permanece en este estado para siempre. En este caso, el estado de "ganador de la elección" es absorbente, ya que una vez que el sistema llega a este estado, nunca saldrá de él..

 

Es importante destacar que en una cadena de Markov, puede haber más de un estado absorbente. Si una cadena de Markov tiene al menos un estado absorbente, se dice que es una cadena de Markov absorbente.

 

Conclusiones

 

En resumen, en una cadena de Markov, los estados se pueden clasificar en tres tipos: transitorios, recurrentes y absorbentes. Los estados transitorios se caracterizan por la propiedad de que existe una probabilidad positiva de que el sistema abandone este estado y nunca regrese a él. Los estados recurrentes se caracterizan por la propiedad de que existe una probabilidad positiva de que el sistema regrese a este estado en el futuro. Los estados absorbentes se caracterizan por la propiedad de que una vez que el sistema entra en este estado, nunca puede salir de él.

 

El conocimiento de estos tipos de estados es importante para entender la dinámica de una cadena de Markov y predecir su comportamiento a largo plazo. Además, la clasificación de los estados permite analizar propiedades adicionales de una cadena de Markov, como la existencia y unicidad de una distribución estacionaria y la convergencia de la distribución de probabilidad a la distribución estacionaria.

 

En resumen, los estados transitorios, recurrentes y absorbentes son una parte integral del análisis de cadenas de Markov. Entender estos conceptos permite un análisis más detallado de la dinámica y el comportamiento a largo plazo de una cadena de Markov.