La distribución de Erlang es una distribución continua de probabilidad
que se utiliza para modelar el tiempo que transcurre hasta que se completan k
eventos en un proceso de Poisson con tasa λ. Esta distribución se llama así en
honor al matemático y estadístico danés Agner Krarup Erlang, quien la
desarrolló en 1909 como una herramienta para el análisis de sistemas de
telecomunicaciones.
La distribución de Erlang se denota como
Erlang(k,λ), donde k es el número de eventos que se espera que ocurran antes de
que se complete el proceso, y λ es la tasa de llegada de los eventos. La
distribución de Erlang se puede entender como una suma de k variables
aleatorias exponenciales con la misma tasa media λ.
La función de densidad de probabilidad
de la distribución de Erlang se puede expresar como:
f(x) = λ^k * x^(k-1) * e^(-λx) / (k-1)!
donde x es el tiempo que transcurre
hasta que se completan k eventos, y k-1 es el número de grados de libertad de
la distribución.
La distribución de Erlang se utiliza
comúnmente en el análisis de sistemas de colas y en la modelización de procesos
de producción en los que se espera que ocurran k eventos antes de que se
complete un ciclo. Por ejemplo, en una fábrica, se puede utilizar la
distribución de Erlang para modelar el tiempo que transcurre hasta que se
completen k productos, donde cada producto requiere varios pasos en el proceso
de producción.
En resumen, la distribución de Erlang es
una herramienta importante en el análisis de sistemas de colas y la
modelización de procesos de producción. Permite modelar el tiempo que
transcurre hasta que se completen k eventos en un proceso de Poisson con tasa
λ, y se utiliza comúnmente en aplicaciones prácticas como la planificación de
la capacidad y la optimización del rendimiento en sistemas de producción y de
servicio al cliente.
Supongamos que una empresa de telecomunicaciones
tiene un centro de atención al cliente con una tasa media de llegada de
llamadas de 10 llamadas por hora y una tasa media de atención de 8 llamadas por
hora. Además, supongamos que se espera que se completen 3 llamadas antes de que
un agente de atención al cliente se libere para atender a otro cliente.
Podemos modelar este sistema utilizando
un modelo de colas con distribución de Erlang. En este caso, la distribución de
Erlang sería Erlang(3,8), ya que se espera que se completen 3 llamadas antes de
que se libere un agente de atención al cliente, y la tasa media de atención es
de 8 llamadas por hora.
Podemos calcular el tiempo medio de
espera en la cola utilizando la fórmula para el modelo M/Ek/1:
* Wq = k/(μ(μ-λ)) * (1 - (λ/μ)^k) * ρ/(1 -
ρ)
Donde:
* k es el número de eventos que se espera
que ocurran antes de que se complete el proceso (en este caso, 3).
* λ es la tasa de llegada de los eventos
(en este caso, 10 llamadas por hora).
* μ es la tasa de servicio o atención de
los eventos (en este caso, 8 llamadas por hora).
* ρ es la utilización del servidor, es
decir, la proporción del tiempo que el servidor está ocupado (en este caso, ρ =
λ/μ = 10/8 = 1.25).
Sustituyendo estos valores en la
fórmula, obtenemos:
* Wq = 3/(8(8-10)) * (1 - (10/8)^3) * 1.25/(1
- 1.25)
* Wq = 0.375 horas, es decir, 22.5
minutos.
Por lo tanto, en promedio, los clientes
tendrán que esperar alrededor de 22.5 minutos en la cola antes de ser atendidos
por un agente de atención al cliente. Este resultado puede ser útil para la planificación
de la capacidad y la optimización del rendimiento en el centro de atención al
cliente, ya que puede ayudar a la empresa a determinar cuántos agentes de
atención al cliente son necesarios para mantener los tiempos de espera de los
clientes dentro de un rango aceptable.
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