Matriz de transición en "n" pasos

 

Una matriz de transición en n pasos, también conocida como matriz de probabilidad de transición de n pasos, es una matriz cuadrada que representa las probabilidades de que un sistema en un estado determinado pase a otro estado en n pasos. Cada entrada de la matriz corresponde a la probabilidad de pasar del estado de fila al estado de columna en n pasos.

 

A continuación, describiré un ejemplo detallado de una matriz de transición en n pasos para una cadena de Markov que describe el tráfico de una intersección de dos calles.

 

Supongamos que queremos modelar el tráfico de una intersección de dos calles en una ciudad. Supongamos que hay dos estados posibles: "fluido" y "congestionado". También supongamos que la probabilidad de que el tráfico cambie de un estado a otro depende del estado actual del tráfico. Por lo tanto, podemos modelar el tráfico de esta intersección como una cadena de Markov con una matriz de transición en un solo paso.

La matriz de transición en un solo paso para esta cadena de Markov podría tener el siguiente aspecto:

 

                Fluido    Congestionado

Fluido                   0.8       0.2

Congestionado       0.3       0.7

 

En esta matriz, cada fila representa el estado actual del tráfico y cada columna representa el estado del tráfico en el siguiente paso. Por ejemplo, si el tráfico actual está "fluido", la probabilidad de que el tráfico esté "fluido" en el próximo paso es del 80%, y la probabilidad de que esté "congestionado" es del 20%.

 

Supongamos que queremos conocer la probabilidad de que el tráfico esté "congestionado" después de 3 pasos. Para hacer esto, podemos calcular la matriz de transición en 3 pasos, que se obtiene al elevar la matriz de transición en un solo paso a la tercera potencia. El resultado sería:

 

                Fluido    Congestionado

Fluido                  0.688     0.312

Congestionado      0.411     0.589

 

Esta matriz nos muestra las probabilidades de estar en cada estado después de 3 pasos. Por ejemplo, la probabilidad de que el tráfico esté "congestionado" después de 3 pasos, dado que el tráfico actual está "fluido", es del 31.2%.

 

En general, la matriz de transición en n pasos nos permite calcular la probabilidad de cualquier secuencia de estados en una cadena de Markov después de n pasos. Por ejemplo, si queremos saber la probabilidad de que el tráfico esté "congestionado" después de 5 pasos, podemos calcular la matriz de transición en 5 pasos, que se obtiene al elevar la matriz de transición en un solo paso a la quinta potencia, y luego mirar la entrada en la fila "fluido" y la columna "congestionado". Esto nos dará la probabilidad de que el tráfico esté "congestionado" después de 5 pasos, dadas las probabilidades de transición en un solo paso.