Cadenas de Markov absorbentes

 

Una cadena de Markov absorbente es un tipo de cadena en la que algunos estados son "absorbentes", es decir, una vez que se alcanzan estos estados, la cadena permanece en ellos indefinidamente. En otras palabras, estos estados actúan como trampas para la cadena, y una vez que se alcanzan, la cadena no puede salir de ellos. En este tipo de cadena, la matriz de transición tendrá algunos valores de probabilidad de 1 en la diagonal correspondientes a los estados absorbentes.

 

A continuación, describiré un ejemplo detallado de una cadena de Markov absorbente para modelar el proceso de una célula que se divide.

 

Supongamos que queremos modelar el proceso de una célula que se divide en dos células hijas. Supongamos que en cada iteración de este proceso, la célula puede estar en uno de tres estados: "viva", "en división" o "muerta". También supongamos que, una vez que la célula entra en el estado "en división", es absorbida en este estado y la cadena permanece allí indefinidamente.

Podemos representar este proceso como una cadena de Markov con la siguiente matriz de transición:

                      Viva      En división     Muerta

Viva                  0.5          0.5            0

En división           0            1              0

Muerta                0            0              1

 

En esta matriz, podemos ver que el estado "en división" es absorbente, ya que la probabilidad de permanecer en este estado es 1. Una vez que la célula entra en el estado "en división", permanece allí indefinidamente.

 

Podemos calcular la matriz de probabilidades de estado estable para esta cadena de Markov absorbente resolviendo el sistema de ecuaciones lineales:

 

[π1, π2, π3] * P = [π1, π2, π3]

π1 + π2 + π3 = 1

 

donde P es la matriz de transición y π es el vector de probabilidades de estado estable. En este caso, el sistema de ecuaciones se reduce a:

 

[π1, π2, π3] * [0.5 0.5 0; 0 1 0; 0 0 1] = [π1, π2, π3]

π1 + π2 + π3 = 1

 

Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos las probabilidades de estado estable:

 

                           Viva     En división   Muerta

Probabilidades         0.5        0.5               0

 

Esto significa que, a largo plazo, la célula tiene una probabilidad del 50% de estar "viva" y una probabilidad del 50% de estar en el estado "en división". Una vez que la célula entra en el estado "en división", permanece allí indefinidamente, por lo que la probabilidad de estar en el estado "muerta" a largo plazo es cero.

 

En resumen, una cadena de Markov absorbente es un tipo de cadena en la que algunos estados son "absorbentes" y una vez que se alcanzan estos estados, la cadena permanece allí indefinidamente. En el ejemplo de la célula que se divide, el estado "en división" es un estado absorbente, lo que significa que una vez que la célula entra en este estado, permanece allí indefinidamente. Esto puede ser modelado usando una matriz de transición con probabilidades de 1 en la diagonal correspondientes a los estados absorbentes. En este ejemplo, la célula puede estar en uno de tres estados: "viva", "en división" o "muerta", y la matriz de transición tiene una probabilidad de 0.5 para que la célula esté "viva" o "en división" en la siguiente iteración, y una probabilidad de 1 para que la célula esté en el estado "en división" una vez que entre en este estado.

 

La matriz de probabilidades de estado estable para esta cadena de Markov absorbente nos indica las probabilidades a largo plazo de estar en cada uno de los estados. En el ejemplo de la célula que se divide, las probabilidades de estado estable indican que a largo plazo la célula tiene una probabilidad del 50% de estar "viva" y una probabilidad del 50% de estar "en división", ya que una vez que la célula entra en el estado "en división", permanece allí indefinidamente y nunca alcanzará el estado "muerta" a largo plazo.

 

Las cadenas de Markov absorbentes son comunes en la modelización de procesos en los que existen estados "absorbentes" que una vez que se alcanzan, la cadena permanece allí indefinidamente. Ejemplos de procesos que pueden ser modelados utilizando cadenas de Markov absorbentes incluyen la evolución de poblaciones en las que la extinción es un estado absorbente, el análisis de fallos de sistemas donde el estado de fallo es absorbente, o el modelado de procesos de comunicación en los que la desconexión es un estado absorbente.

 

En conclusión, las cadenas de Markov absorbentes son un tipo importante de cadena de Markov que se utiliza para modelar procesos en los que algunos estados son "absorbentes" y una vez que se alcanzan, la cadena permanece allí indefinidamente. En estas cadenas, la matriz de transición tiene probabilidades de 1 en la diagonal correspondientes a los estados absorbentes, y la matriz de probabilidades de estado estable nos indica las probabilidades a largo plazo de estar en cada uno de los estados.